تحضير نص الخطبة للسنة الرابعة متوسط

طرق مختصرة لتحسين العمليات الحسابية

سبعة تمرينات ذهنية على العمليات الحسابية لضرب الأعداد

تمرين رقم ( 1 ) : الإسراع بعملية ضرب الأعداد التي تقوم بها

يمكننا أن نحلل الرقم الكبير إلى رقمين دون تغير قيمته . إذا كانت الأرقام كبيرة بدرجة تحول دون القيام بجمعها . قسم رقماً واحداً إلى رقمين :

المثال الأول : 6×14 =

الخطوة الأولى : اقسم 14 إلى جزأين 7 و 2
الخطوة الثانية : أقرأ المسألة الآن 6×7×2 =
الخطوة الثالثة : 6×7 = 42 , 42×2=84
الإجابة 6×14= 84

المثال الثاني : 90 × 1,4

الخطوة الأولى : اقسم 90 إلى جزأين 9 و 10
الخطوة الثانية : اقرأ المسألة الآن 9 × 10 × 1,4
الخطوة الثالثة : 10 × 1,4 = 14 14×9= 126
الإجابة : 90×1,4= 126

تمرين رقم (2) :ضرب أعداد مكونة من رقمين

يمكنك من خلال الضرب بالتعارض ( الوسطين في الطرفين ) والبدْ من اليمين إلى اليسار ان تضرب بسهولة أعداداً مكونة من رقمين دون اللجوء إلى الورقة والقلم .

أولاً قم بضرب أعداد الآحاد . ثم اضرب الوسطين في الطرفين وفي النهاية اضرب العشرات .

مثال(1) : 21×23= .........

الخطوة الأولى : اضرب الآحاد 1×3=3
الخطوة الثانية : اضرب الوسطين في الطرفين عن طريق ضرب رقم عشرات العدد الأول في رقم الآحاد للعدد الثاني ثم اضرب آحاد العدد الأول في عشرات العدد الثاني . ثم اجمع الاثنين :
(2×3) + (1×2) = 6+2=8 ( إجابة العشرات )
الخطوة الثالثة : اضرب العشرات 2× 2=4 (إجابة المئات)
الخطوة الرابعة : ادمج الإجابات الثلاث : 483
ملحوظة إذا كان الناتج أكبر من 9 , تأكد من الاحتفاظ بباقي الناتج كما في هذا المثال :
مثال (2) : 34×23= .......

الخطوة الأولى : اضرب الآحاد : 4×3=12
العدد2 من الرقم 12 سيصبح إجابة الآحاد . ثم احتفظ برقم 1 .
الخطوة الثانية: اضرب الوسطين في الطرفين ثم اجمع ( أضف أيضاً رقم 1 الذي احتفظت به ) .
(3×3) + (4×2) = 9+8+1= 18
رقم 8 من رقم 18 سيصبح في خانة العشرات , ثم احتفظ برقم 1 .
الخطوة الثالثة : اضرب العشرات واحتفظ برقم 1 .
(3×2)+1=7
رقم 7 سيصبح في خانة المئات .
الخطوة الرابعة : ادمج الإجابات الجزئية لتحصل على : 782
الإجابة 34×23= 782

تمرين رقم (3) : الضرب في 11 :
للقيام بضرب عدد مكون من رقمين في 11 أو 1,1 أو 110 أو ..

اجمع رقمي العدد ثم ادخل الناتج بين العددين .
أولاً اكتب الرقم ثم اترك مسافة صغيرة بين العددين , ثم اجمع العددين واكتب الناتج بين نفس العددين

مثال(1): 35×11

الخطوة الأولى : اكتب العدد تاركاً مسافة بين الرقمين
5 ــــ3
الخطوة الثانية : اجمع الرقمين 5+3 = 8
الخطوة الثالثة : ادخل الرقم 8 في الفراغ الذي تركته بين العددين ليصبح 385
مثال رقم (2) : 5,4 ×1,1

الخطوة الأولى : تجاهل العلامة العشرية
فكر في 54×11=......
الخطوة الثانية : اكتب 4ــــ5 (أجمع 5+4=9)
الخطوة الثالثة : ادخل 9 بين 5و4 , لينتج 594
ملحوظة حسابية سريعة : بما أن 5×1=5 إذاً فــ 5,4×1,1 ــستساوي رقماً اكبر من 5 بقليل , لذا , فــ 594 هي في الحقيقة 5,94 .
الإجابة 5,4×1,1=5,94

مثال (3) : 9,7×1,1=

لاحظ هنا : 9+7=16 تنتج عن رقم مكون من عددين , ادخل الـ6 بين 9و7 واحتفظ برقم 1

7(16)9 تصبح 967 , وبالاحتفاظ برقم 1 تصبح النتيجة النهائية 1,67

ملحوظة حسابية سريعة : 9,7 تقريباً هي 10 . 1,1 أكثر بقليل من الرقم 1 . 10×1=10 لذا , فأن 9,7×1,1 سينتج عنه رقم أكبر قليلاً من 10 لذلك الإجابة الجزئية 1067 ستصبح 10,67 .

تمرين (4) : كيف تقوم بالضرب باستخدام التجميع

هذا التمرين يشبه تمرين رقم (1) في أنك تحلل العمليات الحسابية الصعبة إلى خطوتين .
جمع أحد الأرقام لتصبح جزأين يسهل التعامل معهما .

مثال (1) :13×12

أعد التجميع (12×12) + (12×1) = 144 + 12 = 156
مثال (2) : 507×6

أعد التجميع : (500×6) + (7×6) = 3000+42=3042
تمرين (5) : الإسراع بعملية ضرب الأعداد عن طريق التكميل

إن الضرب في العشرات عملية سهلة ويسيرة باستخدام هذه التقنية , بإمكانك أن تزيد أحد الرقمين حتى يصل إلى أقرب عشرة , ثم قم بعد ذلك بتعديل الرقم الثاني بإنقاص نفس القيمة التي زيدت على الرقم الأول .

مثال (1) : 9×28

الخطوة الأولى : أضف رقم 2 إلى 28 لتصبح 30 (9×30 = 270)
الخطوة الثانية : خفض الرقم 270 عن طريق ضرب العددين 2×9 = 18 ثم طرحة من الرقم 270

مثال (2) : 39×99

الخطوة الأولى : أضف رقم 1 إلى 99 لتصبح 100 (39×100=3900)
الخطوة الثانية: اطرح 1×39 أو 39 من 3900
الخطوة الثالثة : 3900-39=3861
تمرين (6) : طريقة سريعة للضرب في الكسور .

عند ضرب رقمين , بإمكانك أن تضاعف أحد العددين مرة واحدة وتقسم الثاني قسمين , قبل عملية الضرب , وللقيام بضرب كسر في عدد صحيح ضاعف ثم قسم العدد الصحيح إلى قسمين .

مثال: 2,5 × 42

الخطوة الأولى : ضاعف 2,5 ليصبح 5
الخطوة الثانية : قسم العدد 42 لنصفين ليصبح 21 .
الخطوة الثالثة : 2,5 × 24 ستصبح 5×21= 105
الإجابة : 2,5 × 42 = 105

تمرين (7) : الطريقة السريعة للضرب في 75,

تقوم عند الضرب في 75, أو 3/4 أو 75 بالمائة , تقوم هذه الطريقة السهلة بتجاهل الضرب في 3 ثم القسمة على 4 .
وللقيام بالضرب في 3/4 أو ما يعادلها , اقسم العدد المضروب في 3/4 إلى نصف النصف ثم اجمع النصفين .

مثال(1) : 3/4×48= ........

الخطوة الأولى : نصف 48=42
الخطوة الثانية : نصف 42=21
الخطوة الثالثة : 42+21=63
الإجابة : 3/4×84=63

خمسة تمارين للقسمة في ذهنك

تمرين (1) : كيف تحدد قابلية الرقم للقسمة ؟
لكي تحسب إذا ما كان أي عدد يقبل القسمة دون باقي , فعليك بحفظ القواعد التالية :

أي رقم قابل للقسمة
على 2 , إذا كان العدد الأخير زوجي , مثال : 1996

على 3 , إذا كان ناتج حاصل جمع أعداده يقبل القسمة على 3 , مثل 1326549ــــ> (1+3+2+6+5+4+9)=30(3+0)=3
على 4 , نجمع منزلة الآحاد مع ضعف منزلة العشرات مثل 353164ــــ> (4+(6×2)) = 16 (6+(1×2)) = 8
على 5 , إذا كان آخر عدد إما صفر أو 5 , مثل 225
على 6 , 1- نطبق علية قاعدة 2و3
2- نجمع الآحاد مع 4 أضعاف ( العشرات + المئات +....)
مثال: 46656ـــــ> 6+4(5+6+6+4) = 90ــــ>0+(4×9) = 36ــــ> 6+(4×3) = 18 ــــ>8+4=12ـــ>2+4=6
على 7 , (العدد دون الآحاد – ضعف الآحاد) مثال:178276ـــــ>(17827- 12 = 17815)ـــ>(1781-10=1771)ــــ>(177-2=175)ــــ>(17-10=7)

على 8 , نجمع الآحاد مع ضعف العشرات مع 4في المئات مثل16384ــــ>(4+16+12) = 32
على 9 , نطبق علية قاعدة الرقم 3 مثل 292509 ــــــــ> (9+0+5+2+9+2) = 27ـــ>7+2 = 9
على 10 , إذا كان آخر عدد صفراً مثل 240
على 12 , نطبق علية قاعدة 3و4


تمرين (2) : استخدام العوامل البسيطة في القسمة

عندما نقوم بالقسمة على عدد كبير , بإمكانك أن تحصل على نفس النتيجة عن طريق القسمة على عاملين لنفس العدد .
فبدلاً من محاولة قسمة عدد على 24 , حلل الــ 24 إلى عواملها 2و12 أو 3و8 أو 6و4 . أقسم العدد على كلٍ من العوامل لتحصل على الإجابة .

مثال: 4488على 24 = .........

الخطوة الأولى : حلل رقم 24 إلى العددين 6و4
الخطوة الثانية : اقسم 4488 على 4 لتحصل على 1122
الخطة الثالثة : اقسم 1122 على 6 لتحصل على 187
الإجابة : 4488 / 24 = 187

حل آخر لنفس المثال السابق

الخطوة الأولى : نحلل رقم 24 إلى العددين 3و8
الخطوة الثانية : اقسم 4488/8 لتحصل على 561
الخطة الثالثة : اقسم 561/3 لتحصل على 187
الإجابة : 4488/24 = 187

تمرين (3) : كيف تقسم أي عدد زوجي على عدد زوجي ؟

لكي نقسم أي عدد زوجي , فإننا نقسم كلاً من المقسوم والمقسوم علية إلى النصف .

مثال : 136/8 = .......

نقسم كل من المقسوم والمقسوم علية على2 لنحصل على 68/4 ونطبقها مرة أخرى 34/2 ومرة أخرى 17/1 إذن 136/8=17

تمرين (4) : القسمة باستخدام طريقة ضعف الضعف .

عند القسمة , إذا قمت بمضاعفة المقسوم علية ومضاعفة المقسوم فإنك ستحصل على نفس النتيجة كما لو لم تكن قد قمت بالمضاعفة
وعندما يحتوي المقسوم عليه على نصف فإن مضاعفة العدد للحصول على عدد صحيح يسهل الأمر

مثال(1):36/4,5=........

الخطوة الأولى : ضاعف 4,5 لتحصل على 9
الخطوة الثانية : ضاعف 36 لتحصل على 72
الخطوة الثالث : 72/9 = 8
الإجابة : 36/4,5 =8
مثال(2) : 145/2,5 = .........

الخطوة الأولى : ضاعف 2,5 لتحصل على 5
الخطوة لثانية : ضاعف 145 لتحصل على 290
الخطوة الثالثة : 290/5=58

تمرين (5) : القسمة على 9

عندما تقسم أي عدد على 9 أو 99 أو 999 أو ما شبه ذلك فإنما سيظهر لك نمطاً متكرراً وستساعد تلك الأنماط المتكررة على التأكد من صحة دقة عملياتك الحسابية فإذا لم يكن هناك تكرار فهذا يدل على انك قد ارتكبت خطأ ...

إذا كان العدد الأول أصغر من العدد الثاني , فإن العدد الأول سوف يكرر نفسه

أمثلة : 1_ 5/9 = 0,555
2_ 73/99 = 0,737373
3_ 18 / 999 = 0,018018
ملحوظة : عندما يكون العدد الأول أكبر من العدد الثاني (9أو99أو999أو...) فإن النمط المتكرر سيظهر كذلك , لكن شكل مختلف.

أمثلة : 1_ 40/9 = 4,4444
2_ 900/99= 9,090909
3_ 2500/999= 2,502502


أربع طرق لا تستخدم في كلٍ من عمليتي الضرب والقسمة


طريقة(1) : التعامل مع الأصفار في عميلتي الضرب والقسمة

عند الضر في الأرقام ذات الأصفار , استبعد الأصفار التي تلي الرقم الأخير , ثم عد الأصفار وأضفها إلى أجابتك الجزئية .

مثال(1): 3200×30=......

الخطوة الأولى : أحذف كل الأصفار ثم أحسب 32×3=96
الخطوة الثانية: عد كل الأصفار للإجابة الجزئية =96000
الإجابة : 3200×30=96000
مثال(2): 8400/120= ......

الخطوة الأولى : عدل المسـألة لتكون 840/12
الخطوة الثانية : اقسم 840/12=70
الإجابة : 8400/120= 70

طريقة (2): استخدام قاعدة الــ 25

ضرب أي عد في 25 :
لضرب أي عدد في 25 اقسم العدد على 4 ثم ادخل أية أصفار أو حرك أي علامة عشرية وفق ما يتطلب الأمر .

مثال(1) : 32×25= ....

الخطوة الأولى : اقسم 32/4=8
ملحوظة حسابية سريعة : بما أن 32×10=320 و 32×20=640 إذاً 32×25 لابد ان يكون أكبر من 640 .

الخطوة الثانية : إضافة صفر واحد سيكون ناتجه 80 وهي إجابة صغيرة جداً . أما بإضافة صفرين سيؤدي إلى الناتج 800 وهو ناتج متماشي مع الملحوظة الحسابية السريعة
الإجابة 800

مثال(2): 2,5×86

الخطوة الأولى : اقسم 86/4 = 21،5
الملحوظة الحسابية السريعة : إذا كان 2×86=172 إذاً لابد أن يكون 2،5 ×86= أكبر من 172

الخطوة الثانية : حرك العلامة العشرية ليكون الجواب موافق مع الملحوظة , إذاً نحرك العلامة مرة واحدة لليمين فتصبح الإجابة =215

قسمة أي عدد على 25 :
لقسمة أي عد على 25 اضرب العدد في 4 ثم أضف أية أصفار (ثم أضف أو أحذف أي أصفار أو علامة عشرية)

مثال(1): 900/25

الخطوة الأولى : تجاهل الأصفار الآن واضرب 9×4 = 36
ملحوظة حسابية سريعة: بما أن 100/25=4 إذاً 900/25 سيكون تسعة أضعاف الأربعة . لن نحتاج إلى أن تضيف أصفاراً أو أية علامات عشرية في هذا المثال .
الإجابة = 36
مثال(2): 450×0،4=.....

الخطوة الأولى : تجاهل الصفر والعلامة العشرية ثم اضرب 45×4=180
ملحوظة حسابية سريعة : يمكنك ذهنياً أن تقدر الإجابة لأن تكون أكبر من 100 وأقل من 200 لأن ,

100×2،5=250(اقل بكثير من 450)
200×2،5= 500(أكبر بكثير من 450)
180×2،5= 450 (إجابة صحيحة)
لن تحتاج إلى إضافة أو أية علامة عشرية .
الإجابة = 180


طريقة(3): طريقة سريعة للضرب أو القسمة على 4

للضرب أو القسمة على العدد 4 (أو0،4أو44أو...) فكل ما تحتاجه هو أن تضاعف الرقم مرتين (في حالة الضرب) أو نقسمه نصفين مرتين (في حالة القسمة).
ملحوظة: تجاهل أية علامات عشرية أو أصفار عندما تقوم بعملية الحساب . ادخل العلامات العشرية وأضف الأصفار بعد الانتهاء من العملية الحسابية , في حالة الضرورة .

مثال(1) : 1700×0،4=....

الخطوة الأولى : تجاهل الأصفار والعلامة العشرية .
أعتبر أن العملية الحسابية كما يلي 4×17

الخطوة الثانية: ضاعف العدد 17 لتحصل على 34
ضاعف العدد 34 لتحصل على 68(إجابة جزئية)

ملحوظة حسابية سريعة : بما أن 0،4 أقل قليلاً من 1/2 فإن الإجابة لابد أن تكون أقل من نصف 1700 انظر إلى الإجابة الجزئية 68 إذا أضفنا صفراً وجعلناها 680 هذا سيكون أقل قليلاً من نصف 1700 (850)وستكون إجابة معقولة .
الإجابة: 1700×0،4=680
مثال(2): 620/40=......

الخطوة الأولى: تجاهل الأصفار
اعتبر أن العملية الحسابية كما يلي 62/4=.......
الخطوة الثانية: نصف الـ62 هو 31 (إجابة جزئية)
ملحوظة حسابية سريعة نصف الـ31 هو 15،5 (إجابة جزئية)
100تعتبر أكثر من ضعف 40 و 620 أكبر من 6 أضعاف 100 لذا فإن الإجابة النهائية ستكون أكبر من 6×2 أو العدد 12 الإجابة الجزئية لـ15،5 ستكون معقولة .
الإجابة:620/40=15،5

طريقة(4): طريقة سريعة للضرب أو القسمة على 5

يعتبر العددان 5و2 نموذجين للأعداد العكسية أو المتبادلة لأن حاصل ضربهما معاً يساوي 10 . ولكي تضرب أي عدد في 5 , اقسم العدد على 2 . وأما القسمة على 5 اضرب العدد في 2 .
ملحوظة : تجاهل أية علامات عشرية أو أصفار عند القيام بالعملية الحسابية , ويمكننا أن نعالج هذا الأمر بعد الأنتهاء من العملية الحسابية .

مثال(1): 480×5=.......

الخطوة الأولى:تجاهل الصفر .
الخطوة الثانية:اقسم 480/2=240
ملحوظة حسابية سريعة: 5×500=2500 , لذا فإن الإجابة لابد وأن تكون أقل قليلاً من 2500 لذا , 240 إجابة صغيرة جداً . أما بإضافة صفر واحد فإننا نحصل على 2400 وهي الإجابة لمعقولة .
الإجابة:480×5=2400
مثال(2) : 22,2/5=.....

الخطوة الأولى:تجاهل العلامات العشرية
اعتبر أن العلية الحسابية كما يلي 222 على 5=......
الخطوة الثانية:اضرب 222×2=444(إجابة جزئية)
ملحوظة حسابية سريعة : 20/5=4 . لذا فــ2,2/5 لابد ان تكون اكبر قليلاً من 4 لذا فـ444 ستصبح 4,44
الإجابة:22,2/5=4,44

طريقتين لإتقان العمليات الحسابية داخل الذهن
طريقة(1): الإسراع بعملية الجمع في ذهنك

إن الجمع باستخدام العشرات أسهل من جمع الأعداد المنتهية بـ6 أو 7 أو8 أو9 .
عندما تقوم بجمع أعداد تنتهي بـ6,7,8,9 أضف على الأرقام حتى تصل إلى رقم 10 ثم أجمع , بعد ذلك اطرح القيمة التي أضفتها من إجابتك .

مثال(1):578+216=......

الخطوة الأولى : عدل 578 إلى 580 بإضافة العدد 2
الخطوة الثانية: 580+216=796
الخطوة الثالثة : بما انك أضفت 2 في الخطوة الأولى فعليك الآن أن تطرح 2 من 796 (796-2=794)
الإجابة:794

طريقة(2):طريقة بسيطة للطرح في ذهنك

أن الطرح باستخدام العشرات أسهل من طرح أي عدد آخر.
خذ العدد المطلوب طرحه وقربه إلى أقرب عدد من مضاعفات الـ10, ثم زد الكم الآخر بنفس القدر.

مثال(1): 624- 348=........

الخطوة الأولى : زد العدد 348 إلى 400 (بإضافة52)
الخطوة الثانية: زد 624 بنفس القدر 624+52=676
الخطوة الثالثة: 676-400=276
الإجابة:624- 348 = 276